В московской школе его одноклассником был будущий кинодраматург В. С. Фрид, вспоминавший о нём в мемуарной книге «58 с половиной, или Записки лагерного придурка».

Занимался в организованной в 1939 году Алексеем Арбузовым и Валентином Плучеком Московской театральной студии, позже получившей название «Арбузовской». Среди друзей по студии - Всеволод Багрицкий, Зиновий Гердт, в той же студии занимались Александр Галич, Исай Кузнецов.

Первой ролью Максима Грекова стал Зяблик в сочинённой самим студийцами под руководством Арбузова пьесе «Город на заре», её премьера состоялась 5 февраля 1941 года.

С началом Великой Отечественной войны, как и многие студийцы, Греков ушёл добровольцем на фронт; служил в отдельной мотострелковой бригаде особого назначения, был сапёром-подрывником. Воевал в Калининской области, в Туле, потом в Сталинграде.

В марте 1943-го его забрасывают во вражеский тыл - в широко известный теперь по роману бывшего командира отряда "Это было под Ровно" партизанский отряд Медведева, в котором служит легендарный разведчик Николай Кузнецов. Максим Греков прослыл там умелым взрывником и смелым человеком.

Елена Боннэр (да,да -та самая, ныне вдова академика А.Сахарова и правозащитница) и Александр Свободин пишут в очерке " "Партизан Максим Греков" о том, ка он хладнокровно и под самым носом у немецких патрулей пускал под откос вражеские эшелоны. И такое:

"Однажды в Ровно ожидали Коха. Разведка сообщила: с аэродрома поедет в машине.По дороге решили делать засаду, надо было 7 человек добровольцев и было сказано: "Надежды вернуться нет". Максим вызвался первым.Ему доверили командование группой. Около дороги не было ни дерева, ни куста. Сутки пролежали они во ржи. Немецкие машины не пришли.Разведка ошиблась.Стоит представить себе день и ночь ожидания в открытом поле, и станет понятно мужество тех, кто был там".

Потом Максим Греков - командир партизанской роты, проведшей более 90 боёв. В 1944-м немцы бросили на его роту подразделение с овчарками. Рукопашная с собаками - это страшно. Но рота выстояла и даже погнала немцев....

Вот ещё - из того же очерка:

"Когда в большом фойе Вахтанговского театра стоял гроб нашего Максима,друзья его, актёры, слушая речь партизана, боевого товарища Макса, удивлялись его героической военной судьбе. А друзья-партизаны с удивлением слушали слова Рубена Симонова о том, каким он был актёром!"

После окончания войны вернулся к актёрской профессии, стал актёром театра им. Вахтангова, проработав там до конца жизни: с 1948 по 1965 годы.

Максим Греков снялся в нескольких фильмах, в том числе в картинах "Человек идёт за солнцем", "До свиданья, мальчики". Роль в последней озвучивал уже будучи тяжело больным, приезжая на озвучание из военного госпиталя.

Похоронен на Введенском кладбище.