На фронтах Великой Отечественной войны с февраля 1943 года. Воевал на Ленинградском и 3-м Белорусском фронтах, был лётчиком, старшим лётчиком, командиром звена, заместителем командира и командиром эскадрильи 15-го гвардейского штурмового авиационного полка.

К октябрю 1944 года командир звена 15-го гвардейского штурмового авиаполка (277-я штурмовая авиадивизия, 13-я воздушная армия, Ленинградский фронт) гвардии лейтенант Е.М. Кунгурцев совершил 176 боевых вылетов, сбил лично 1 и в группе 6 самолётов противника.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 февраля 1945 года за боевые подвиги и проявленные мужество и отвагу гвардии лейтенанту Кунгурцеву Евгению Максимовичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда".

К середине февраля 1945 года командир эскадрильи 15-го гвардейского штурмового авиаполка (1-я воздушная армия, 3-й Белорусский фронт) гвардии старший лейтенант Кунгурцев Е.М. совершил 210 боевых вылетов на разведку и штурмовку, опорных пунктов, аэродромов, скоплений войск и техники противника, нанеся ему значительный урон; в воздушном бою сбил вражеский самолёт. В марте 1945 года, будучи тяжело раненным, Е.М. Кунгурцев попал в плен, бежал и вернулся в свою часть.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 апреля 1945 года за новые боевые подвиги гвардии старший лейтенант Кунгурцев Евгений Максимович награждён второй медалью "Золотая Звезда".

После Победы продолжал службу в ВВС. С 1945 года - помощник командира авиационного полка, с 1948 года - инспектор-лётчик по технике пилотирования и теории полёта авиационного соединения, с 1952 года - командир авиаполка, затем заместитель командира авиационной дивизии, с 1968 года - командир авиационной дивизии. В 1952 году окончил Военно-воздушную академию, а в 1957 году - Военную академию Генерального штаба.

С 1968 года Е.М. Кунгурцев - в запасе. Жил в городе Бердянске Запородской области Украинской ССР, где и скончался 11 мая 2000 года.

Бронзовый бюст дважды Героя Советского Союза Кунгурцев Е.М. установлен на его родине Ижевске, памятник - в городе Бердянск Запорожской области.

Именем Героя названа улица в городе Воткинске (Удмуртия).